Question

如圖所示，在同時存在勻強電場和勻強磁場的空間中取正交坐標系Oxyz（x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上）．勻強磁場方向與Oxy平面平行，且與x軸的夾角為45°，重力加速度為g．
（1）一質量為m、電荷量為+q的帶電質點沿平行于z軸正方向以速度v₀做勻速直線運動，求滿足條件的電場強度的最小值E_min及對應的磁感應強度B；
（2）在滿足（1）的條件下，當帶電質點通過y軸上的點P（0，h，0）時，撤去勻強磁場，求帶電質點落在Oxz平面內的位置；
（3）當帶電質點沿平行于z軸負方向以速度v₀通過y軸上的點P（0，h，0）時，改變電場強度大小和方向，同時改變磁感應強度的大小，要使帶點質點做勻速圓周運動且能夠經過x軸，問電場強度E和磁感應強度B大小滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）帶電質點受到重力mg（大小及方向均已知）、洛倫茲力qv₀B（方向已知）、電場力qE（大小及方向均未知）的作用做勻速直線運動．根據力三角形知識分析可知：當電場力方向與磁場方向相同時，場強有最小值E_min．根據物體的平衡規律列式即可求解；
（2）撤去磁場后，帶電質點受到重力mg和電場力qE_min作用，其合力沿PM方向并與v₀方向垂直，大小等于qv₀B=

2

2

mg，故帶電質點在與Oxz平面成45°角的平面內作類平拋運動．根據平拋運動的基本公式及運動的合成與分解即可求解；
（3）當電場力和重力平衡時，帶點質點才能只受洛倫茲力作用做勻速圓周運動，根據電場力等于重力，洛倫茲力通過向心力列式即可求解．

解答：解：（1）如圖1所示，帶電質點受到重力mg（大小及方向均已知）、洛倫茲力qv₀B（方向已知）、電場力qE（大小及方向均未知）的作用做勻速直線運動．根據力三角形知識分析可知：當電場力方向與磁場方向相同時，場強有最小值E_min．根據物體的平衡規律有
qE_min=mgsin45°                     
qv₀B=mgcos45°
解得Emin=

2 mg

2q

                     
B=

2 mg

2qv0

                        
（2）如圖2所示，撤去磁場后，帶電質點受到重力mg和電場力qE_min作用，其合力沿PM方向并與v₀方向垂直，大小等于qv₀B=

2

2

mg，故帶電質點在與Oxz平面成45°角的平面內作類平拋運動．
由牛頓第二定律 qv₀B=ma
解得 a=

2

2

g 
設經時間t到達Oxz平面內的點N（x，y，z），由運動的分解可得
沿v₀方向  Z=v₀t
沿PM方向  PM=

1

2

at2
又 PM=

h

sin45°

   
x=htan45°
聯立解得 x=h   
z=2v0

h g

 
則帶電質點落在N（h，0，2v0

h g

 ）點 
（3）當電場力和重力平衡時，帶點質點才能只受洛倫茲力作用做勻速圓周運動
則有：Eq=mg
得：E=

mg

q

要使帶點質點經過x軸，圓周的直徑為

2

h
根據qv₀B=m

v02

r

得B=

2 mv0

2qh

答：（1）電場強度的最小值為

2 mg

2q

，對應的磁感應強度為

2 mg

2qv0

；
（2）在滿足（1）的條件下，當帶電質點通過y軸上的點P（0，h，0）時，撤去勻強磁場，帶電質點落在Oxz平面內的位置坐標為（h，0，2v0

h g

 ）；
（3）當帶電質點沿平行于z軸負方向以速度v₀通過y軸上的點P（0，h，0）時，改變電場強度大小和方向，同時改變磁感應強度的大小，要使帶點質點做勻速圓周運動且能夠經過x軸，電場強度E為

mg

q

，磁感應強度為

2 mv0

2qh

．

點評：本題是帶電粒子在復合場中的運動問題，分勻速直線運動、勻速圓周運動和類似平拋運動三種情況進行研究，難道適中．