Question

（2008?武漢二模）如圖所示，在同時存在勻強電場和勻強磁場的空間中取正交坐標系Oxyz（x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上）．勻強磁場方向與Oxy平面平行，且與x軸的夾角為60°，重力加速度為g．一質量為m、電荷量為+q的帶電質點沿平行于z軸正方向以速度v₀做勻速直線運動．

（1）求電場強度的最小值E_min及對應的磁感應強度B；
（2）若電場強度為最小值E_min，當帶電質點通過y軸上的點P（0，h，0）時，撤去勻強磁場，求帶電質點落在Oxz平面內的位置．

Answer 1

分析：（1）若質點做直線運動，則一定是勻速直線運動，因為洛倫茲力受到速度的影響，所以三力處于平衡狀態，根據力的合成與分解可列出洛倫茲力與重力的關系、電場力與重力的關系，從而確定電場強度的大小與方向；
（2）若撤去磁場，當帶電質點P點射入時，只受到重力與電場力共同作用，質點做類平拋運動，根據平拋運動處理規律來確定質點的位置．

解答：解：（1）如圖答1所示，帶電質點受到重力mg（大小及方向均已知）、洛倫茲力qv₀B（方向已知）、電場力qE（大小及方向均未知）的作用做勻速直線運動．根據力三角形知識分析可知：當電場力方向與磁場方向相同時，場強有最小值E_min．根據物體的平衡規律有

  qE_min=mgsin60°①
  qv₀B=mgcos60°②
由①②得：Emin=

3 mg

2q

，B=

mg

2qv0

．
（2）如圖答2所示，撤去磁場后，帶電質點受到重力mg和電場力qE_min作用，其合力沿PM方向并與v₀方向垂直，大小等于qv₀B，故帶電質點在與Oxz平面成30°角的平面內作類平拋運動．

由牛頓第二定律  qv₀B=ma  ③
解得：a=0.5g．
設經時間t到達Oxz平面內的點N（x，y，z），由運動的分解可得
沿v₀方向  z=v₀t ④
沿PM方向  PM=

1

2

at2 ⑤
又  PM=

h

sin30°

 ⑥
   x=hcot30°⑦
聯立③～⑦解得：x=

3

h，z=2v0

2h g

所以，帶電質點落在N（

3

h，0，2υ0

2h g

）點（或帶電質點落在Oxz平面內x=

3

h，z=2v0

2h g

的位置）．
答：（1）電場強度的最小值E_min是

3 mg

2q

，對應的磁感應強度B是

mg

2qv0

；
（2）若電場強度為最小值E_min，當帶電質點通過y軸上的點P（0，h，0）時，撤去勻強磁場，帶電質點落在N（

3

h，0，2υ0

2h g

）點（或帶電質點落在Oxz平面內x=

3

h，z=2v0

2h g

的位置）．

點評：當質點做直線運動時，則有電場力、洛倫茲力與重力處于平衡狀態，否則不可能做直線運動，原因是洛倫茲力受到速度的影響；當只受到電場力與重力時，若初速度與兩力的合力相垂直，則做類平拋運動．