Question

如圖所示，一輕質彈簧一端固定在豎直墻上，另一端放一個可視為質點的質量為m小物塊A．當彈簧處于原長時，小物塊A處在O點，現使輕彈簧壓縮x₀至M點被鎖定，在右方距O點位移為L的N點有一質量為M的物塊靜止在半徑為R的光滑半圓形軌道底端，某時刻輕彈簧解除鎖定，小物塊A運動到N點與物塊B發生碰撞，碰撞后B恰能通過半圓形軌道上的最高點E做圓周運動，小物塊A也恰好能返回到O點速度為零，已知：小物塊A與地面的動摩擦因數為μ、小物塊A的質量m、物塊B的質量M、L、x₀及圓弧半徑R．
求：（1）碰后A、B的速度
（2）碰前A的速度
（3）彈簧被鎖定時具有的彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）由題意，碰撞后B恰能通過E點做圓周運動，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出B經過E點時的速度，對于B，從最低點到最高點的過程，運用機械能守恒求出碰后瞬間B的速度．對于A，從碰后到回到O點過程，由動能定理求解碰后A的速度．
（2）對A、B碰撞過程，由動量守恒求解碰前A的速度．
（3）對于系統從彈簧解鎖到AB碰撞前的過程，運用能量守恒列式，即可求得彈簧被鎖定時具有的彈性勢能．

解答：解：（1）由題知：物體B過軌道最高點時有：
Mg=M

v 2 B1

R

得v_B1=

gR

…①
對物B：從最低點到最高點，機械能守恒，則得：
 

1

2

M

v

2 B

=

1

2

M

v

2 B1

+Mg?2R…②
由①②得：v_B=

5gR

… ③
即碰后B的速度為

5gR

對A：從碰后到回到O點過程，由動能定理得：
-μmgL=0-

1

2

mv

′

2 A

解得：v′_A=

2μgL

…④
（2）對A、B碰撞過程動量守恒有：
 mv_A=-mv′_A+Mv_B… ⑤
由③④⑤得：v_A=-

2μgL

+

M

m

5gR

…⑥
（3）對于系統從彈簧解鎖到AB碰撞前的過程，由能量守恒有：
   E_p=

1

2

m

v

2 A

+μmg（x₀+L）…⑦
由⑥⑦得：E_p=

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）
即彈簧被鎖定時具有的彈性勢能為

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）．
答：
（1）碰后A、B的速度分別為

2μgL

和

5gR

．
（2）碰前A的速度是-

2μgL

+

M

m

5gR

．
（3）彈簧被鎖定時具有的彈性勢能為

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）．

點評：本題的過程較為復雜，關鍵要抓住B到達E點的臨界條件和碰撞過程的動量守恒、系統的能量守恒進行求解．