Question

（2013?安徽模擬）光滑的長直斜面軌道固定在豎直平面內，與水平軌道BCD連接，水平軌道的BC段粗糙，CD段光滑，一根輕質彈簧一端固定在D處的豎直面上，另一端與質量為3m的物塊b則好在C點接觸（不連接），彈簧處于水平自然長度．將質量為m的物塊a從斜面軌道上的A點由靜止釋放下滑．物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向右壓縮彈簧．已知A點的高度為h，BC=l，物塊a、b與BC段水平軌道的動摩擦因數分別為μ₁=0.25和μ₂=0.4，重力加速度為g，物塊a、b均可視為質點．求：
（1）物塊a第一次經過B點時的速度；
（2）彈簧在形變過程中，所能獲得的最大彈性勢能；
（3）試討論釋放點高度h取何值時，a、b能且只能發生一次碰撞．

Answer 1

分析：（1）由機械能守恒求速度
（2）由動能定理和動量守恒求彈簧的彈性勢能，系統的動能全部轉化為彈簧的彈性，由能量守恒定律求解最大的彈性勢能．
（3）由于物塊b的加速度大小大于物塊a的加速度大小，所以經過C點后，a、b兩物塊分離，同時也與彈簧分離．

解答：解：（1）物塊a由A到B過程中，由機械能守恒定律得：mgh=

1

2

mv

2 1

所以第一次經過B點時的速度v1=

2gh

（2）物塊a從B到C過程中，由動能定理得：
-μ1mgl=

1

2

mv

2 C1

-

1

2

mv

2 1

解得物塊a在C點的速度
vC1=

2g(h-0.25l)

物塊a、b在C點碰撞，根據動量守恒有：
mv_C1=4mv_C2
解得兩物塊在C點向右運動速度
vC2=

g(h-0.25l) 8

a、b將彈簧壓縮過程中，系統a、b的動能轉化為彈簧的彈性勢能，有：
EPmax=

1

2

×4

mv

2 C2

=

mg(h-0.25l)

4

（3）a、b一起壓縮彈簧后又返回C點時速度大小
v_C3=vC2=

g(h-0.25l) 8

由于物塊b的加速度大小大于物塊a的加速度大小，所以經過C點后，a、b兩物塊分離，同時也與彈簧分離．
討論：①假設a在C處時速度為vC1=

2g(h-0.25l)

=0，即h=0.25l
要使a、b能夠發生碰撞，則h＞0.25l
②假設物塊a滑上斜面軌道又返回，最終停在水平軌道上P點，物塊b在水平軌道上勻減速滑到P點也恰好停止．設PB=x，則CP=l-x，根據能量守恒
對a：μ1mg(l+x)=

1

2

mv

2 C3

對b：μ23mg(l-x)=

1

2

×3

mv

2 C3

由以上兩式解得：
x=

3

13

l
h=

269

52

l
要使a、b只發生一次碰撞，則h≤

269

52

l
所以，當0.25l≤h≤

269

52

l時，a、b兩物塊能且只能發生一次碰撞．
答：（1）物塊a第一次經過B點時的速度v1=

2gh

；
（2）彈簧在形變過程中，所能獲得的最大彈性勢能

mg(h-0.25l)

4

；
（3）當0.25l≤h≤

269

52

l時，a、b兩物塊能且只能發生一次碰撞．

點評：本題綜合考查了機械能守恒定律、動量守恒定律和動能定理，對學生能力的要求較高，其中第三問難度較高．