Question

如圖所示，靜止在粗糙水平面上的斜面體有三個光滑斜面AB、AC和CD．已知斜面AB與水平方向成37°角，斜面AC與水平方向成53°角，斜面CD與水平方向成30°角，A點與C點的豎直高度為h₁=0.8m，C點與D點的豎直高度為h₂=3.25m．在B點左側的水平面上有一個一端固定的輕質彈簧，自然長度時彈簧右端到B點的水平距離為s=3.9m．質量均為m=1kg的物體甲和乙同時從頂點A由靜止釋放，之后甲沿斜面AB下滑，乙沿AC下滑．在甲乙兩物體下滑過程中，斜面體始終處于靜止狀態，且兩物體運動中經過B點、C點、D點時，速度大小不改變，只改變方向．甲進入水平面后向左運動壓縮彈簧的最大壓縮量為x=0.1m，乙物體進入水平面后便向右運動最終停止．已知甲物體與水平面的動摩擦因數為μ=0.6，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）彈簧的最大彈性勢能為多少？
（2）甲物體最終停止位置距B點多遠？
（3）通過計算，說明甲乙兩物體是否同時滑到水平面上？

Answer 1

分析：（1）當滑塊甲運動到最左端時，彈簧的彈性勢能最大，對滑塊甲運用動能定理列式計算；
（2）先對整個運動過程運用動能定理列式求解出滑塊相對于初潮地面的總路程，再根據幾何關系得出甲物體最終停止位置距B點的距離；
（3）對甲受力分析后，根據牛頓第二定律求出加速度，然后根據位移時間公式求出時間t₁；再對乙受力分析后求出加速度，再根據位移公式和速度時間公式求時間，最后比較是否同時．

解答：解：（1）當滑塊甲運動到最左端時，彈簧的彈性勢能最大，對滑塊甲從A到最左端過程運用動能定理，得到
mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）-W_彈=0-0
彈簧彈力做的功等于彈性勢能增加量，故
E_pm=W_彈
解得
E_pm=mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）=1×10×（0.8+3.25）-0.6×1×10×（3.9+0.1）=16.5J
即彈簧的最大彈性勢能為16.5J．
（2）對甲物體從開始到停止運動的整個過程運用動能定理，有
mg（h₁+h₂）-μmg?L=0-0
解得
L=

h1+h2

μ

=6.75m
故甲物體最終停止位置距B點為：x₁=2（h₁+h₂）-L=1.25m．
 （3）甲物體受重力、支持力，根據牛頓第二定律，有
mgsin37°=ma₁
根據位移時間公式，有

h1+h2

sin37°

=

1

2

a1

t

2 1

解得
t₁=1.5s
對于乙物體，在傾角為53°的斜面上時，加速度設為a2，在傾角為30°的斜面上時，加速度設為a₃
根據牛頓第二定律，有
mgsin53°=ma₂
mgsin30°=ma₃
根據運動學公式，有

h1

sin53°

=

1

2

a2

t

2 2

v=a₂t₂

h2

sin30°

=vt₃+

1

2

a3

t

2 3

解得
t₂=0.5s
t₃=1s
故t₁=t₂+t₃
即甲乙兩物體同時到達水平面上．

點評：本題關鍵靈活地選擇過程運用動能定理列式求解；對斜面上的運動可以運用牛頓第二定律和運動學公式聯立求解．