Question

（2011?商丘三模）如圖所示，靜止在粗糙水平面上的斜面體有三個光滑斜面AB、AC和CD．已知斜面AB與水平方向成37°角，斜面AC與水平方向成
53°角，斜面CD與水平方向成30°角，A點與C點的豎直高度為h₁=0.8m，C點與D點的豎直高度為h₂=3.25m．在D點右側的水平面上有一個一端固定的輕質彈簧，自然長度時彈簧左端到D點的水平距離為s=3.8m．質量均為m=1kg的物體甲和乙同時從頂點A由靜止釋放，之后甲沿斜面AB下滑，乙沿AC下滑．在甲乙兩物體下滑過程中，斜面體始終處于靜止狀態，且兩物體運動中經過B點、C點、D點時，速度大小不改變，只改變方向．乙進入水平面后向右運動，與彈簧接觸后壓縮彈簧，最大壓縮量為x=0.25m，然后彈簧又將乙物體彈開，乙物體向左運動恰好到達D點停止，甲物體進入水平面后便向左運動最終停止．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）乙物體與水平面的動摩擦因數？
（2）彈簧的最大彈性勢能為多少？
（3）通過計算，說明甲乙兩物體是否同時滑到水平面上？
（4）若以釋放甲乙物體時作為t=0時刻，作出斜面體受到地面的摩擦力大小f隨時間變化的圖線（不要求寫出作圖依據，但要在圖象中標明有關數據）．

Answer 1

分析：（1）乙物體最后停在D點，從開始下滑到停止過程中有重力及摩擦力做功，則對乙物體由動能定理可求得乙物體與水平面間的動摩擦因數；
（2）當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能最大，則由動能定理可求得最大彈性勢能；
（3）由牛頓第二定律可求得甲在AB上滑行的加速度，則由位移公式可求得甲下滑的時間；同理，對乙分兩段由牛頓第二定律可求得物體的加速度，再由運動學公式求得下滑時間，則可得出兩物體是否同時滑到底部；
（4）斜面體在水平方向受兩物體的壓力的分力作用和摩擦力的作用而處于靜止狀態，求得兩壓力的合力即可確定摩擦力的大小．

解答：解：（1）乙物體從靜止釋放到最后停止在D點，由動能定理則
mg（h₁+h₂）-μmg2（s+x）=0
解得：μ=0.5                                                
（2）乙物體從靜止釋放到彈簧被壓縮到最短，設此時彈簧的最大勢能為E_P，則
E_P=mg（h₁+h₂）-μmg （s+x）
解得 E_p=20.25J       
（3）甲在AB上滑行的加速度 a_甲=gsin37°=6m/s²
設甲在AB上滑行的時間為t_甲，則  

h1+h2

sin37°

=

1

2

a_甲t_甲²
解得 t_甲=1.5s                                              
乙在AC上的加速度為 a_乙1=gsin53°=8m/s²
乙在AC上滑行的時間為t_乙1，則 

h1

sin53°

=

1

2

a_乙1t_乙1²
解得 t_乙1=0.5s                                              
此時的速度為 v=a_乙1t₁=4m/s
乙在CD上的加速度為 a_乙2=gsin30°=5m/s²
乙在CD上滑行的時間為t_乙2，則 

h2

sin30°

=vt_乙2+

1

2

a_乙2t²_乙2
解得 t_乙2=1s                                       
所以乙從A滑到D的時間是t_乙=t_乙1+t_乙2=1.5s
故甲乙兩物體同時滑到水平面上．            
（4）當乙物體在AC面上時，兩壓力水平方向的分力恰好大小相等，方向相反，故摩擦力為零，當乙滑到CD面上時，乙物體壓力的水平分力減小，可分別求得兩分力，則兩分力的合力為0.47N，故答案如圖：

點評：若動力學題目中不牽扯時間時，一般可由動能定理或功能關系求解；但若要求與時間有關的物理問題時，一般優先考慮牛頓第二定律與運動學的結合．