Question

如圖所示光滑水平面有一長(zhǎng)木板其質(zhì)量為m_A=1kg，長(zhǎng)木板兩端有兩小物塊．其質(zhì)量分別為m_B=2kg，m_c=5kg，已知B與A之間、C與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=O.5，現(xiàn)物塊C以初速度V．=8m/s向左運(yùn)動(dòng)，最終物體C恰好沒(méi)有與B相碰（g=10m/s²，B、C均可看成質(zhì)點(diǎn)）
（1）在此過(guò)程中A的最大速度是多大？
（2）此過(guò)程中內(nèi)能增加了多少？
（3）為使B、C不相撞，木板的長(zhǎng)度至少為多長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）通過(guò)A、B對(duì)長(zhǎng)木板摩擦力的大小比較，確定長(zhǎng)木板A是否和B一起做加速運(yùn)動(dòng)，分別求得A與C的加速度，計(jì)算出A的最大速度；
（2）最終三者的共同速度由動(dòng)量守恒求得共同的速度，內(nèi)能的增加量等于系統(tǒng)減少的動(dòng)能；
（3）結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出C與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)，它們的相對(duì)位移的大小；全過(guò)程中A與B的相對(duì)位移，為使B、C不相撞，木板的最小長(zhǎng)度為B、C相對(duì)A的位移的和．

解答：解：（1）C的加速度為a_c=μg=5 m/s²；
若A、B之間不滑動(dòng)，則A、B一起加速運(yùn)動(dòng)，加速度為aAB=

μmCg

mA+mB

=

0.5×5×10

1+2

=

25

3

＞μg=5
故假設(shè)不成立，即A、B之間存在相對(duì)滑動(dòng)．這樣A的加速度aA=

μg(mC-mB)

mA

=

0.5×10×(5-2)

1

m/s2=15m/s²，方向向右；
B的加速度為a_B=μg=5m/s²，方向向右；
設(shè)A、C經(jīng)過(guò)時(shí)間t后速度均變?yōu)関，則v=8-5t=15t，所以t=0.4 s；此時(shí)的速度即為A的最大速度，故v=6 m/s；
（2）最終三者的共同速度由動(dòng)量守恒m_cv₀=（m_A+m_B+m_C）v
可得：v=5 m/s，
故內(nèi)能的增加量為△E=

1

2

m_Cv₀²-

1

2

（m_A+m_B+m_C）v²=60J；
（3）首先是C與A的相對(duì)滑動(dòng)，A、C之間相對(duì)滑動(dòng)的距離s_CA=s_C-s_A=v₀t-

1

2

a_Ct²-

1

2

a_At²=1.6 m；
此時(shí)A、C不再相對(duì)滑動(dòng)，
當(dāng)A與C相對(duì)靜止后，B與A仍有相對(duì)滑動(dòng)，B與A的總的相對(duì)滑動(dòng)距離可由能量守恒求得：
Q=μm_Bgs_AB+μm_Cgs_AC=60得：s_AB=2 m；
所以木板的最小長(zhǎng)度為L(zhǎng)=s_AB+s_AC=3.6 m
答：（1）在此過(guò)程中A的最大速度是6m/s；
（2）此過(guò)程中內(nèi)能增加了60J；
（3）為使B、C不相撞，木板的長(zhǎng)度至少為3.6m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，以及動(dòng)量守恒定律進(jìn)行求解．該題的過(guò)程多，難度大．