Question

通過研究學生的學習行為，專家發現，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，設表示學生注意力隨時間（分鐘）的變化規律（越大，表明學生注意力越集中），經過實驗分析得知：

   （1）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？

   （2）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？

   （3）一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？

 

Answer 1

解析：(1)設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4－2x，高為x ，

所以V₁= (4－2x)²?x = 4(x³－4x² ＋ 4x)  (0<x<2) ．

∴V₁^/ = 4(3x²－8x ＋ 4)，

令V₁^/ = 0，即4(3x²－8x ＋ 4) = 0，解得x₁ = ，x₂ = 2 (舍去) ．

∵  V₁在(0，2)內只有一個極值，   

∴ 當x = 時，V₁取得最大值．

(2)重新設計方案如下：

如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長方體容器.新焊長方體容器底面是一個長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂ = 3×2×1 = 6，顯然V₂>V₁．

故第二種方案符合要求．

 

 

 

 

 

          圖①                      圖②                        圖③

 

注：第二問答案不唯一。