Question

通過研究學生的學習行為，專家發現，學生的注意力著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的興趣激增；中間有一段時間，學生的興趣保持較理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散，設f（t）表示學生注意力隨時間t（分鐘）的變化規律（f（t）越大，表明學生注意力越集中），經過實驗分析得知：f（t）=

-t2+24t+100，0＜t≤10 240，10＜t≤20 -7t+380，20＜t≤40

．
（1）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？
（2）講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時學生的注意力更集中？
（3）一道數學難題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經過適當安排，教師能否在學生達到所需的狀態下講授完這道題目？

Answer 1

分析：（1）分類討論：①當0＜t≤10時，②當20＜t≤40時，分別求出各段上函數的最大值，從而得出講課開始多少分鐘，學生的注意力最集中；
（2）欲比較講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘，何時學生的注意力更集中，只須分別求得函數值f（5）和f（25）比較它們的大小即可；
（3）分兩種情形：①當0＜t≤10時，②當20＜t≤40時，函數值為180對應的t值，則可計算出學生注意力在180以上所持續的時間
即可看出是否經過適當安排，老師可以在學生達到所需要的狀態下講授完這道題．

解答：解：（1）當0＜t≤10時，f（t）=-t²+24t+100
=-（t-12）²+244是增函數，且f（10）=240；
當20＜t≤40時，f（t）=-7t+380是減函數，
且f（20）=240．
所以，講課開始10分鐘，學生的注意力最集中，能持續10分鐘．
（2）f（5）=195，f（25）=205，
故講課開始25分鐘時，學生的注意力比講課開始后5分鐘更集中．
（3）當0＜t≤10時，f（t）=-t²+24t+100=180，則t=4；
當20＜t≤40時，令f（t）=-7t+380=180，
t≈28.57，則學生注意力在180以上所持續的時間
28.57-4=24.57＞24，
所以，經過適當安排，老師可以在學生達到所需要的狀態下講授完這道題．

點評：構造二次函數模型，函數解析式求解是關鍵，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．