Question

直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內，AC，BC與平面α分別成30°，45°的角，若S_△ABC=10，則△ABC在平面α內的射影構成的三角形的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：過點C作CH⊥平面α，設CH=h，用h表示三角形ABC的邊AB、AC、BC、ABC的斜邊AB上的高為x，求出角三角形ABC與平面α成的角為β的正弦值，從而求出β的余弦值，β的余弦值等于射影面積比上直角三角形ABC的面積．
解答：解：過點C作CH⊥平面α，設CH=h，∵AC，BC與平面α分別成30°，45°的角，
∴BC=，AC=2h，AB=h，∵直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內，
S_△=BC•AC=10，∴h=，設直角三角形ABC的斜邊AB上的高為x，
由面積法可求 x=，設直角三角形ABC與平面α成的角為β，
sinβ==，∴β=60，cos60===，
∴S^′=5，即△ABC在平面α內的射影構成的三角形的面積為5；
故答案為5．
點評：本題考查直線與平面所成的角，三角形ABC與平面α成的角余弦值等于射影面積比上直角三角形ABC的面積．