Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₃=5，a₅=9；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+b_n=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若cn=

an

bn

(n∈N+)，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得數(shù)列{a_n}的公差，進(jìn)而得通項(xiàng)，由S_n+b_n=2可得S_n=2-b_n，當(dāng)n=1時(shí)，可解b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，可得bn=

1

2

bn-1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；
（II）由（I）可知c_n=

an

bn

=（2n-1）•2^n-1，由錯(cuò)位相減法可求和．

解答：解：（I）由題意可得數(shù)列{a_n}的公差d=

1

2

（a₅-a₃）=2，
故a₁=a₃-2d=1，故a_n=a₁+2（n-1）=2n-1，
由S_n+b_n=2可得S_n=2-b_n，當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2-b₁=b₁，∴b₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1），∴bn=

1

2

bn-1，
∴{b_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=1•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1；
（II）由（I）可知c_n=

an

bn

=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，
故2T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減可得-T_n=1+2•2¹+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
=1-4+（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ

點(diǎn)評(píng)：本題考查錯(cuò)位相減法求和，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬中檔題．