Question

設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中項．
（Ⅰ）證明數列{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式S_n-1005＞

a 2 n

2

恒成立，求這樣的正整數m共有多少個？

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n=1時求得a₁；當n≥2時根據2a_n=2S_n-2S_n-1化簡整理得a_n-a_n-1=1判斷數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的a_n代入S_n進而可根據裂項法進行求和得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2（1-

1

n+1

）＜2；原式得證．
（Ⅲ）S_n-1005＞

a 2 n

2

，求得n的范圍．進而可得集合M，依據m∈M，所以m=2010，2012，，2998均滿足條件，且這些數組成首項為2010，公差為2的等差數列，進而求得k

解答：解：（Ⅰ）由已知，2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0．，當n=1時，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1．
當n≥2時，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．于是2S_n-2S_n-1=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，即2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
．于是a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
因為a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1（n≥2）．
故數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，且a_n=n．
（Ⅱ）因為a_n=n，則S_n=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）．
所以

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）＜2；
（Ⅲ）由S_n-1005＞

a 2 n

2

，得

n(n+1)

2

-1005＞

n2

2

，即

n

2

＞1005，所以n＞2010．
由題設，M={2000，2002，，2008，2010，2012，，2998}，
因為m∈M，所以m=2010，2012，，2998均滿足條件，且這些數組成首項為2010，公差為2的等差數列．
設這個等差數列共有k項，則2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中滿足條件的正整數m共有495個．

點評：本題主要考查等差數列的性質特別是等差數列的通項公式．考查了學生分析問題和解決問題的能力．