Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為，且原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若不經過點的直線：與橢圓交于兩點，且與圓相切.試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題可知，求得直線的方程，再由點到直線的距離公式，聯立求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）由直線與圓相切，求得，再把直線方程與圓的方程聯立，利用根與系數的關系和弦長公式，分別求得，即計算求得三角形的周長。

（1）由題可知，，，則，

直線的方程為，即，所以，

解得，，

又，所以橢圓的標準方程為.

（2）因為直線與圓相切，

所以，即.

設，，

聯立，得，

所以 ，

，，

所以 .

又，所以.

因為 ，

同理.

所以，

所以的周長是，

則的周長為定值.