Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k₁，k₂求證：k₁•k₂為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓方程求出兩個頂點A，B的坐標，設出P點坐標，寫出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結合P的坐標適合橢圓方程可證結論；
（Ⅱ）分別求出M和N點的坐標，由（Ⅰ）中的結論得到兩直線斜率間的關系，把|MN|用含有一個字母的代數式表示，然后利用基本不等式求最值；
（Ⅲ）設出以MN為直徑的圓上的動點Q的坐標，由

QM

•

QN

=0列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯立方程組可求解圓所過定點的坐標．

解答：（Ⅰ）證明：由題設橢圓C：

x2

4

+y2=1可知，點A（0，1），B（0，-1）．
令P（x₀，y₀），則由題設可知x₀≠0．
∴直線AP的斜率k1=

y0-1

x0

，PB的斜率為k2=

y0+1

x0

．
又點P在橢圓上，所以

x02

4

+y02=1(x0≠0)，從而有k1•k2=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=-

1

4

；
（Ⅱ）解：由題設可得直線AP的方程為y-1=k₁（x-0），
直線PB的方程為y-（-1）=k₂（x-0）．
由

y-1=k1x y=-2

，解得

x=- 3 k1 y=-2

；
由

y+1=k2x y=-2

，解得

x=- 1 k2 y=-2

．
∴直線AP與直線l的交點N（-

3

k1

，-2），直線PB與直線l的交點M（-

1

k2

，-2）．
∴|MN|=|

3

k1

-

1

k2

|，又k1•k2=-

1

4

．
∴|MN|=|

3

k1

+4k1|=

3

|k1|

+4|k1|≥2

3 |k1| •4|k1|

=4

3

．
等號成立的條件是

3

|k1|

=4|k1|，即k1=±

3

2

．
故線段MN長的最小值為4

3

．
（Ⅲ）解：以MN為直徑的圓恒過定點(0，-2+2

3

)或(0，-2-2

3

)．
事實上，設點Q（x，y）是以MN為直徑圓上的任意一點，則

QM

•

QN

=0，
故有(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+(y+2)(y+2)=0．
又k1•k2=-

1

4

．所以以MN為直徑圓的方程為x2+(y+2)2-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令

x=0 x2+(y+2)2-12=0

，解得

x=0 y=-2+2 3

或

x=0 y=-2-2 3

．
所以以MN為直徑的圓恒過定點(0，-2+2

3

)或(0，-2-2

3

)．

點評：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圓系方程，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．