Question

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-1，0），且橢圓C的離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A₁，A₂，Q是橢圓C上異于A₁，A₂的任一點，直線QA₁，QA₂分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=

16

7

相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題目給出的條件直接列關于a，b，c的方程組求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由橢圓方程求出橢圓上下頂點的坐標，設出橢圓上的動點Q，由直線方程的兩點式寫出直線QA₁，QA₂的方程，取y=0后得到OS和OT的長度，結合點Q在橢圓上整體化簡運算可證出|OS|•|OT|為定值；
（3）假設存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=

16

7

相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大，由點M在橢圓上得到關于m和n的關系式，由點到直線的距離公式求出原點O到直線的距離，由圓中的半徑，半弦長和弦心距之間的關系求出弦長，寫出△OAB的面積后利用基本不等式求面積的最大值，利用不等式中等號成立的條件得到關于m和n的另一關系式，聯(lián)立后可求解M的坐標．

解答：解：（1）由題意：

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得：a=2，b=

3

所以橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）可知A1(0，

3

)，A2(0，-

3

)，設Q（x₀，y₀），
直線QA₁：y-

3

=

y0- 3

x0

x，令y=0，得xS=

- 3 x0

y0- 3

；     
直線QA₂：y+

3

=

y0+ 3

x0

x，令y=0，得xT=

3 x0

y0+ 3

；
則|OS|•|OT|=|

- 3 x0

y0- 3

•

3 x0

y0+ 3

|=|

3 x 2 0

y 2 0 -3

|，
而

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，所以3

x

2 0

=4(3-

y

2 0

)，
所以|OM|•|ON|=|

3 x 2 0

y 2 0 -3

|=4；
（3）假設存在點M（m，n）滿足題意，則

m2

4

+

n2

3

=1，即m2=4-

4

3

n2．
設圓心到直線l的距離為d，則d=

2

m2+n2

，且d＜

4 7

7

．
所以|AB|=2

16 7 -d2

=2

16 7 - 4 m2+n2

．
所以S△OAB=

1

2

•|AB|•d=

4 m2+n2 ( 16 7 - 4 m2+n2 )

．
因為d＜

4 7

7

，所以m2+n2＞

7

4

，所以

16

7

-

4

m2+n2

＞0．
所以S△OAB=

4 m2+n2 ( 16 7 - 4 m2+n2 )

≤

( 4 m2+n2 + 16 7 - 4 m2+n2 2

)2=

8

7

．
當且僅當

4

m2+n2

=

16

7

-

4

m2+n2

，即m2+n2=

7

2

＞

7

4

時，S_△OAB取得最大值

8

7

．
由

m2+n2= 7 2 m2=4- 4 3 n2

，解得

m2=2 n2= 3 2

．
所以

m= 2 n= 6 2

或

m= 2 n=- 6 2

或

m=- 2 n= 6 2

或

m=- 2 n=- 6 2

．
所以存在點M滿足題意，點M的坐標為
(

2

，

6

2

)，(

2

，-

6

2

)，(-

2

，

6

2

)或(-

2

，-

6

2

)．
此時△OAB的面積為

8

7

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線和圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法．屬難題．