Question

如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：

所用時間（分鐘）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的頻率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的頻率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．
（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？
（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，40分鐘內趕到火車站”，B_i表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，用頻率估計相應的概率P（A₁），P（A₂）比較兩者的大小，及P（B₁），P（B₂）的從而進行判斷甲與乙路徑的選擇；
（II）A，B分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由（I）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，且甲、乙相互獨立，X可能取值為0，1，2，分別代入相互獨立事件的概率公式求解對應的概率，再進行求解期望即可

解答：解：（Ⅰ）A_i表示事件“甲選擇路徑L_i時，40分鐘內趕到火車站”，
B_i表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，
i=1，2．用頻率估計相應的概率可得
∵P（A₁）=0.1+0.2+0.3=0.6，
P（A₂）=0.1+0.4=0.5，∵P（A₁）＞P（A₂）
∴甲應選擇L_i
P（B₁）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，
P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
∵P（B₂）＞P（B₁），∴乙應選擇L2．
（Ⅱ）A，B分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，
由（Ⅰ）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，
又由題意知，A，B獨立，
P(X=0)=P(

.

A

.

B

)=P(

.

A

)P(

.

B

)=0.4×0.1=0.04
P（x=1）=P（

.

A

B+A

.

B

）=P（

.

A

）P（B）+P（A）P（

.

B

）
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42
P（X=2）=P（AB）=P（A）（B）=0.6×0.9=0.54
X的分布列：

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．

點評：本題主要考查了隨機抽樣用樣本估計總體的應用，相互獨立事件的概率的求解，離散型隨機變量的數學期望與分布列的求解，屬于基本知識在實際問題中的應用．