Question

20、如圖，A地到火車站共有兩條路徑L₁和L₂，現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，調查結果如下：

所用時間（分鐘）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
選擇L1的人數	6	12	18	12	12
選擇L2的人數	0	4	16	16	4

（Ⅰ）試估計40分鐘內不能

0.44

趕到火車站的概率；
（Ⅱ）分別求通過路徑L₁和L₂所用時間落在上表中各時間段內的頻率；
（Ⅲ）現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的 路徑．

Answer 1

分析：（I）先從表中看出不能按時趕到火車站的人數，把所有的四項人數相加，用這個人數除以調查的總數，得到要求的概率．
（II）從表中可以看出選擇L₁的有60人，選擇L₂的有40人，用每一組的人數除以選擇這條道路的人數，得到頻率．
（III）分別求出甲和乙兩個人分別選擇兩條道路時，根據互斥事件的概率做出能夠按時趕到火車站的概率，把所求的兩個概率比較，分別給甲和乙選擇合適的道路．

解答：解：（Ⅰ）由已知共調查了100人，
其中40分鐘內不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人，
∴用頻率估計相應的概率為0.44．
（Ⅱ）選擇L₁的有60人，選擇L₂的有40人，
故由調查結果得頻率為：

所用時間（分鐘）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的頻率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的頻率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

（Ⅲ）A₁，A₂，分別表示甲選擇L₁和L₂時，在40分鐘內趕到火車站；
B₁，B₂分別表示乙選擇L₁和L₂時，在50分鐘內趕到火車站．
由（Ⅱ）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6
P（A₂）=0.1+0.4=0.5，P（A₁）＞P（A₂）∴甲應選擇L1
P（B₁）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8
P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B₂）＞P（B₁），
∴乙應選擇L₂．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查頻率分布表，考查用樣本估計總體，本題題干比較長，但解題時應用的原理不復雜，是一個基礎題．