Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（1）求證：a，b，c成等比數列；
（2）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC

∴sinB（ ）=

∴sinB =

∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc

∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，

∵A+B+C=π

∴sin（A+C）=sinB

即sin2B=sinAsinC，

由正弦定理可得：b2=ac，

所以a，b，c成等比數列．

（2）解：若a=1，c=2，則b2=ac=2，

∴ ，

∵0＜B＜π

∴sinB=

∴△ABC的面積

【解析】（1）由已知，利用三角函數的切化弦的原則可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用兩角和的正弦公式及三角形的內角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可證（2）由已知結合余弦定理可求cosB，利用同角平方關系可求sinB，代入三角形的面積公式S= 可求．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數列的基本性質({an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列)．