Question

【題目】已知函數是定義在上的偶函數，當時， .

（1）直接寫出函數的增區間（不需要證明）；

（2）求出函數， 的解析式；

（3）若函數， ，求函數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）增區間為；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據奇偶性，結合函數簡圖可得函數的增區間；（2）因為， ，所以根據函數是定義在上的偶函數， , 且當時, , 時函數的解析式，綜合可得函數的解析式；（3）根據（1）可得函數的解析式，結合二次函數的圖象和性質，對進行分類討論，進而可得函數的最小值的表達式.

試題解析：（1）的增區間為 .

（2）設，則，，

由已知，當時，，故函數的解析式為：.

（3）由（2）可得：，對稱軸為：，

當時，，此時函數在區間上單調遞增，故的最小值為，

當時，，此時函數在對稱軸處取得最小值，故的最小值為，

當時，，此時函數在區間上單調遞減，故的最小值為.

綜上：所求最小值為 .