Question

給出下列四個命題：
①?α＞β，使得tanα＜tanβ；
②若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
③在△ABC中，“A＞

π

6

”是“sinA＞

1

2

”的充要條件；
④若函數y=f（x）的圖象在點M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2．則f（1）+f′（1）=3
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由α=

3π

4

，β=

π

4

，易判斷①的正誤；
根據若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，易得f（x）在[0，1]上是減函數，再結合θ∈(

π

4

，

π

2

)時，sinθ＞cosθ，可判斷②的真假；
根據正弦函數的性質及三角形內角的范圍限制，可判斷③的對錯；
由切線方程我們易求出切點坐標，進而得到f（1）+f′（1）的值，可判斷④的正誤．

解答：解：①中，當α=

3π

4

，β=

π

4

時，tanα＜tanβ成立，故①正確；
②中，∵f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數，且在[-1，0]上是增函數，
∴f（x）在[0，1]上是減函數，
又∵θ∈(

π

4

，

π

2

)時，sinθ＞cosθ，
∴f（sinθ）＜f（cosθ），故②錯誤；
③中，當A=

5π

6

時，“A＞

π

6

”成立，但“sinA＞

1

2

”不成立
故③在△ABC中，“A＞

π

6

”是“sinA＞

1

2

”的充要條件錯誤；
④中，∵函數y=f（x）的圖象在點M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2
∴M點也在直線y=

1

2

x+2上，把X=1代入得y=

5

2

=f（1），
而f′（1）=

1

2

，則f（1）+f′（1）=3，故④正確
故答案：①④

點評：本題考查的知識點是正切函數的單調性，函數性質的綜合應用，正弦函數的單調性，利用導數研究曲線上某點切線方程．我們利用上述知識點對4個結論逐一進行判斷，即可得到答案．