Question

（09年海淀區期中理）（14分） 

設是定義在區間D上的函數，若對任何實數以及D中的任意兩數，恒有，則稱為定義在D上的C函數.

   （Ⅰ）試判斷函數，是否為各自定義域上的C函數，并說明理由；

   （Ⅱ）已知是R上的C函數，m是給定的正整數，設，且，記. 對于滿足條件的任意函數，試求的最大值；

   （Ⅲ）若是定義域為R的函數，且最小正周期為，試證明不是R上的C函數.

Answer 1

解析：（Ⅰ）是C函數，證明如下：

對任意實數及，

有

.

即

∴是C函數.

不是C函數，證明如下：

取，，，

則

即

∴不是C函數.    ……………………………4分

   （Ⅱ） 對任意，取，，

   是R上的C函數， ，且

∴.

那么.

可證是C函數，且使得都成立，此時．

綜上所述，的最大值為．…………………………9分

   （Ⅲ）假設是R上的C函數．

若存在且，使得

若

記，，，則，且．

那么

這與矛盾.

若

記，，也可得到矛盾．

∴在上是常數函數，又因為是周期為T的函數，所以在R上是常數函數，這與的最小正周期為T矛盾.

所以不是R上的C函數．…………………14分