Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列四個命題：
（1）P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC的體積不變；
（2）P在直線BC₁上運動時，直線AP與A₁D所成的角大小不變；
（3）P在直線BC₁上運動時，直線AP與平面ACD₁所成的角大小不變；
（4）M是平面A₁B₁C₁D₁上到直線A₁D₁與直線CC₁距離相等的點，則M點的軌跡是拋物線．
其中，真命題的序號為

①②

．

Answer 1

分析：由BC₁∥平面AD₁C，知BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，底不變，得到三棱錐A-D₁PC的體積不變；由A₁D⊥平面ABC₁D₁，知直線AP與A₁D所成的角大小不變；通過計算可得直線AP與平面ACD₁所成角的大小在變化；由M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，知M點的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，
∴BC₁∥上任意一點到平面AD₁C的距離相等，
所以三棱錐A-D₁PC的體積不變，故①正確．
②∵A₁D⊥平面ABC₁D₁，
∴P在直線BC₁上運動時，直線AP與A₁D所成的角大小不變，故②正確；
P在直線BC₁上運動時，直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等，所以不正確．
③在點P從B點向C₁點運動過程中，
直線AP與平面ACD₁所成角的大小從arcsin

3

3

逐漸變為arcsin

1

3

，
越來越小，故③錯誤；
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，
∴M點的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線，而DD₁=D₁C₁，故④錯誤．
綜上，①②是正確的
故答案為：．

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了空間直線與平面所成角、平面與平面所成角、體積的計算和距離的計算等知識，屬于中檔題．