Question

已知a＞0，函數f(x)=

sin π 2 x，x∈[-1，0) ax2+ax+1，x∈[0，+∞)

，若f(t-

1

3

)＞-

1

2

，則實數t的取值范圍為（　　）

• A．[-

  2

  3

  ，0)
• B．[-1，0）
• C．[2，3）
• D．（0，+∞）

Answer 1

分析：分類討論：當-1≤t-

1

3

＜0時，利用正弦函數的單調性即可得出；當t-

1

3

≥0時，a＞0時，f(t-

1

3

)＞-

1

2

恒成立．

解答：解：①當-1≤t-

1

3

＜0時，f(t-

1

3

)=sin[

π

2

(t-

1

3

)]＞-

1

2

，∴-

π

6

+2kπ＜

π

2

(t-

1

3

)＜

7π

6

+2kπ（k∈Z），-

1

3

+4k＜t-

1

3

＜

7

3

+4k（k∈Z）．
又∵-1≤t-

1

3

＜0，∴-

1

3

＜t-

1

3

＜0，解得0＜t＜

1

3

．
②當t-

1

3

≥0時，f(t-

1

3

)=a(t-

1

3

)2+a(t-

1

3

)+1＞-

1

2

，及a＞0，恒成立，
∴t≥

1

3

．
綜上可知：實數t的取值范圍為（0，+∞）．
故選D．

點評：本題考查了分段函數的性質、正弦函數的單調性、二次函數的單調性等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．