Question

已知a＞0，函數f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的圖象連續不斷）
（Ⅰ）當a=

1

8

時
①求f（x）的單調區間；
②證明：存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=f（

3

2

）；
（Ⅱ）若存在均屬于區間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

分析：（I）將a=

1

8

代入可得函數的解析式，
①求導數fˊ（x）；在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0確定的單調區間
②由（I）知f（x）在（0，2）內單調遞增，在（2，+∞）內單調遞減．令g（x）=f（x）-f（

3

2

）．利用函數f（x）在（0，2）內單調遞增，得到f（2）＞f（

3

2

），即g（2）＞0．最后取x′=

3

2

e＞2，則g（x′）=

41-9e2

32

＜0．從而得到結論；
（II）先由f（α）=f（β）及（I）的結論知α＜

2a

2a

＜β，從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立關于a的不等關系即可證得結論．

解答：解：（I）①當a=

1

8

時，f（x）=lnx-

1

8

x2．
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

x=

1- 1 4 x2

x

，x∈（0，+∞），
令f′（x）=0，解得x=2．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

 所以，f（x）的單調遞增區間是（0，

2a

2a

），f（x）的單調遞減區間是（

2a

2a

，+∞）．
證明：②由（I）知f（x）在（0，2）內單調遞增，在（2，+∞）內單調遞減．
令g（x）=f（x）-f（

3

2

）．
由于f（x）在（0，2）內單調遞增，
故f（2）＞f（

3

2

），即g（2）＞0．
取x′=

3

2

e＞2，則g（x′）=

41-9e2

32

＜0．
所以存在x₀∈（2，x'），使g（x₀）=0，
即存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（

3

2

）．
（II）證明：由f（α）=f（β）及（I）的結論知α＜

2a

2a

＜β，
從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(2)≥f(α)≥f(1) f(2)≥f(β)≥f(3)

即

ln2-4a≥-a ln2-4a≥ln3-9a

從而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

點評：本小題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、解不等式、函數的零點等基礎知識，考查運算能力和運用函數思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法．