Question

P在直線2x+y+10=0上，PA、PB與圓x²+y²=4相切于A、B兩點，則四邊形PAOB面積的最小值為（ ）
A．24
B．16
C．8
D．4

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB則要求S_PAOB=2S_△PAO=的最小值，轉化為求PA最小值，由于PA²=PO²-4，當PO最小時，PA最小，結合點到直線的距離公式可知當PO⊥l時，PO有最小值，由點到直線的距離公式可求．
解答：解：由圓x²+y²=4，得到圓心（0，0），半徑r=2，
由題意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴S_PAOB=2S_△PAO=，
在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA²=PO²-r²=PO²-4，
當PO最小時，PA最小，此時所求的面積也最小，
點P是直線l：2x+y+10=0上的動點，
當PO⊥l時，PO有最小值d=，PA=4，
所求四邊形PAOB的面積的最小值為8．
故選C
點評：本題考查了直線與圓的位置關系中的重要類型：相切問題的處理方法，解題中要注意對性質的靈活應用，體現了轉化思想在解題中的應用．根據題意得出PO⊥l時所求圓的面積最小是解本題的關鍵．