Question

想象一下一個人從出生到死亡，在每個生日都測量身高，并作出這些數據的散點圖，這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內的增長數據有時可以用線性回歸來分析，下表是一位母親給兒子做的成長記錄：

年齡/周歲	3	4	5	6	7	8	9
身高/cm	91.8	97.6	104.2	110.9	115.6	122.0	128.5
年齡/周歲	10	11	12	13	14	15	16
身高/cm	134.2	140.8	147.6	154.2	160.9	167.5	173.0

(1)年齡(解釋變量)和身高(預報變量)之間具有怎樣的相關關系？
(2)如果年齡相差5歲，則身高有多大差異(3～16歲之間)?
(3)如果身高相差20 cm，其年齡相差多少(3～16歲之間)?
(4)計算殘差，說明該函數模型是否能夠較好地反映年齡與身高的關系，說明理由．

Answer 1

(1)＝6.286x＋72     (2) 31.4 cm     (3) 3(歲)    (4) 擬合效果較好

解：(1)設年齡x與身高y之間的回歸直線方程為＝x＋，由公式＝得≈6.286，＝－≈72，所以＝6.286x＋72.
(2)如果年齡相差5歲，則預報變量變化6.286×5＝31.425，即身高相差約31.4 cm.
(3)如果身高相差20 cm，年齡相差Δx＝＝3.182≈3(歲)．
(4)

y	91.8	97.6	104.2	110.9	115.6	122.0	128.5
i	90.9	97.1	103.4	109.7	116.0	122.3	128.6
y	134.2	140.8	147.6	154.2	160.9	167.5	173.0
i	134.9	141.1	147.4	153.7	160.0	166.3	172.6

由表得R²＝1－≈0.999 7.由R²＝0.999 7，表明年齡解釋了99.97%的身高的變化，擬合效果較好．