Question

（2011•孝感模擬）已知函數f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，g(x)=x2-2mx+4
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數求函數的單調區間的步驟是①求導函數f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數的增區間（或減區間），對于本題的在求單調區間時要注意函數的定義域；
（Ⅱ） 由題意可知f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，根據二次函數的增減性即可得到g（x）的最小值，再根據（Ⅰ）求出的f（x）的單調區間，根據f（x）的增減性即可求出f（x）的最小值，進而列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

-x2+4x-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函數f（x）的單調遞增區間為（1，3）；單調遞減區間為（0，1），（3，+∞）；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知函數f（x）在區間（0，1）上遞減，在區間（1，2）上遞增，
∴函數f（x）在區間（0，2）上的最小值為f（1）=-

1

2

，
由于“對任意x₁∈（0，2），總存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）”等價于“g（x）在區間[1，2]上的最小值不大于f（x）在區間（0，2）上的最小值-

1

2

”
即g（x）_min≤-

1

2

，（*）
又g（x）=x²-2mx+4，x∈[1，2]，
∴①當m＜1時，g（x）_min=g（1）=5-2m＞0與（*）式矛盾，
②當m∈[1，2]時，g（x）_min=4-m²≥0，與（*）式矛盾，
③當m＞2時，g（x）_min=g（2）=8-4m≤-

1

2

，
解得m≥

17

8

，
綜上知，實數m的取值范圍是[

17

8

，+∞）．

點評：本題是中檔題．考查函數的值域，難點是題意的理解與轉化，體現了轉化的思想．同時也考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，