Question

已知k∈R，函數f（x）=a^x+k•b^x（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函數y=x+

1

x

(x＞0)在區間（0，1]上單調遞減，在區間[1，+∞）上單調遞增．若a=2，b=

1

2

，k=1，求函數f（x）的單調區間．
（2）若實數a，b滿足ab=1．求k的值，使得函數f（x）具有奇偶性．（寫出完整解題過程）

Answer 1

分析：（1）將a，b的值代入，得到f(x)=2x+

1

2x

，換元，令t=2^x，根據y=t+

1

t

(t＞0)的單調區間判斷函數的單調區間．
（2）根據奇函數偶函數的概念，代入f（x），化簡整理，求得k的值．

解答：解：（1）當a=2，b=

1

2

，k=1時，函數f(x)=2x+

1

2x

…（1分）
令t=2^x（t＞0），則原函數變為y=t+

1

t

(t＞0)
由條件知，當t∈（0，1]時，y單調遞減．此時x∈（-∞，0]，且t=2^x在（-∞，0]上單調遞增．
所以有函數f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上單調遞減．…（3分）
當t∈[1，+∞）時，y單調遞增．此時x∈[0，+∞），且t=2^x在[0，+∞）上單調遞增．
所以有函數f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上單調遞增．…（3分）
綜上，f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上單調遞減，在（-∞，0]上單調遞增． …（1分）
（2）由題意，ab=1，所以有

1

a

=b，

1

b

=a
①若f（x）為奇函數，則有f（-x）=-f（x），即a^-x+kb^-x=-（a^x+kb^x），
即(

1

a

)x+k(

1

b

)x=-(ax+kbx)，得b^x+ka^x=-（a^x+kb^x），
整理得（1+k）（b^x+a^x）=0，所以有1+k=0，得k=-1…（3分）
②若f（x）為偶函數，則有f（-x）=f（x），即a^-x+kb^-x=a^x+kb^x，
即(

1

a

)x+k(

1

b

)x=ax+kbx，得b^x+ka^x=a^x+kb^x，所以得k=1…（3分）
綜上有，k=-1時，f（x）為奇函數，k=1時，f（x）為偶函數．…（1分）

點評：本題考查了復合函數的單調性以及函數的奇偶性，中間用到了換元法，是中檔題．