Question

已知k∈R，函數f（x）=a^x+k•b^x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）．
（Ⅰ）如果實數a，b滿足a＞1且ab=1，函數f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相應的k值；如果沒有，說明原因．
（Ⅱ）如果a=4，b=

1

2

，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當ab=1時，b=a^-1，f（x）=a^x+k•a^-x，f（-x）=a^-x+k•a^x，利用奇偶函數的定義可求得k值；
（Ⅱ）當a=4，b=

1

2

時求出f′（x），分k≤0，k＞0兩種情況進行討論，解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可得到函數單調區間；

解答：解：（Ⅰ）當ab=1時，b=a^-1，f（x）=a^x+k•a^-x，f（-x）=a^-x+k•a^x，
①若函數f（x）為奇函數，則f（x）=-f（-x），即a^x+k•a^-x=-（a^-x+k•a^x），
整理得，（k+1）（a^x+a^-x）=0，得k=-1；
②若函數f（x）為偶函數，則f（x）=f（-x），即a^x+k•a^-x=a^-x+k•a^x，
整理得，（k-1）（a^-x-a^x）=0，得k=1．
（Ⅱ）當a=4，b=

1

2

時，f(x)=4x+k•(

1

2

)x，f′(x)=4xln4+k(

1

2

)xln

1

2

=ln2[2•4^x-k(

1

2

)x]，
①當k≤0時，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）遞增；
②當k＞0時，若f'（x）＞0，則2•4x-k(

1

2

)x＞0，解得x＞

log2k-1

3

；
若f'（x）＜0，則2•4x-k(

1

2

)x＜0，解得x＜

log2k-1

3

；
∴f（x）的增區間為(

log2k-1

3

，+∞)，減區間為(-∞，

log2k-1

3

)，
綜上：k≤0時，f（x）在（-∞，+∞）遞增；k＞0時，減區間為(-∞，

log2k-1

3

)，增區間為(

log2k-1

3

，+∞)．

點評：本題考查函數的奇偶性、利用導數研究函數的單調性，考查分類討論思想，屬中檔題，定義是解決函數奇偶性的常用方法，導數是研究函數的有力工具，要熟練應用．