Question

在某兩個(gè)正數(shù)x，y之間，若插入一個(gè)正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列；若插入兩個(gè)正數(shù)b，c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，求證：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

Answer 1

分析：根據(jù)某兩個(gè)正數(shù)x，y之間，若插入一個(gè)正數(shù)a，使x，a，y成等比數(shù)列，得到a=

xy

，在根據(jù)插入兩個(gè)正數(shù)b，c，使x，b，c，y成等差數(shù)列，得到b=

2x+y

3

，c=

x+2y

3

，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的關(guān)系式，再利用基本不等式即可

解答：解：∵x，a，y成等比數(shù)列
∴a²=xy
∵a＞1
∴a=

xy

∵x，b，c，y成等差數(shù)列
∴b-x=c-b=y-c
即b=

2x+y

3

，c=

x+2y

3

∴（b+1）（c+1）=(

2x+y

3

+1)（

x+2y

3

+1）=

2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9

9

∵x＞0，y＞0
∴

2(x2+y2)  +5xy+9x+9y+9

9

≥

2×(2xy)+5xy

9

+2

xy

+1= (

xy

+1)2=（a+1）²
即：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，屬于基礎(chǔ)題．