Question

某飛船返回倉順利返回地球后，為了及時救出航天員，地面指揮中心在返回倉預計到達的區域內安排了三個救援中心（如圖1分別記為A，B，C），B地在A地正東方向上，兩地相距6km； C地在B地北偏東30°方向上，兩地相距4km，假設P為航天員著陸點，某一時刻A救援中心接到從P點發出的求救信號，經過4s后，B、C兩個救援中心也同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1km/s．
（I）求A、C兩上救援中心的距離；
（II）求P相對A的方向角；
（III）試分析信號分別從P點處和P點的正上方Q點（如圖2，返回倉經Q點垂直落至P點）處發出時，A、B兩個救援中心收到信號的時間差的變化情況（變大還是變小），并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則可表示A，B，C的坐標，從而可求AC的距離；
（2）由題意，易判斷P在以A，B為焦點的雙曲線軛坐支上，從而可確定雙曲線的方程，再與BC的垂直平分線的方程聯立，可求P的坐標，從而問題得解．

解答：解：（1）以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A（-3，0），B（3，0），C(5，2

3

)，∴AC=2

19

km，即A\C兩個救援中心的距離為2

19

km
（2）∵PC=PB，∴P在BC線段的垂直平分線上；∵PB-PA=4，∴P在以A，B為焦點的雙曲線軛坐支上，且AB=6，∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

5

=1(x＜0)，BC的垂直平分線的方程為x-

3

y-7=0，聯立兩方程解得x=-8，∴P(-8，5

3

)，kPA=tan∠PAB=-

3

，∴∠PAB=120°，∴P在A點的北偏西30⁰方向上．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．解此類題的要點是建立適當的三角函數模型，利用三角函數的基本公式和定理進行求解．