Question

某飛船返回倉順利返回地球后，為了及時救出航天員，地面指揮中心在返回倉預計到達的區域內安排了三個救援中心(如圖1分別記為A，B，C)，B地在A地正東方向上，兩地相距6 km； C地在B地北偏東30°方向上，兩地相距4 km，假設P為航天員著陸點，某一時刻A救援中心接到從P點發出的求救信號，經過4 s后，B、C兩個救援中心也同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1 km/s.

(1)求A、C兩地救援中心的距離；

(2)求P相對A的方向角；

(3)試分析信號分別從P點處和P點的正上方Q點(如圖2，返回倉經Q點垂直落至P點)處發出時，A、B兩個救援中心收到信號的時間差的變化情況(變大還是變小)，并證明你的結論.

Answer 1

(1)以AB的中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則

A(－3,0)，B(3,0)，C(5,2)，

則|AC|＝＝2(km)，

即A、C兩個救援中心的距離為2 km.

(2)∵|PC|＝|PB|，所以P在BC線段的垂直平分線上.

又∵|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B為焦點的雙曲線的左支上，且|AB|＝6，

∴雙曲線方程為－＝1(x＜0).

BC的垂直平分線的方程為x＋y－7＝0，聯立兩方程解得： x＝－8.

 ∴P(－8,5)，∴k_PA＝tan∠PAB＝－，

∴∠PAB＝120°，

所以P點在A點的北偏西30°方向上.

(3)如圖，設

|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，

∵|QB|－|QA|

＝－

＝

＝(x－y)·，

又∵＜1，

∴|QB| －|QA|＜|PB|－|PA|，

∴－＜－.

即從P點的正上方Q點處發出的信號，然后A、B收到的時間差比從P點處發出的信號，然后A、B收到的時間差變小.