Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

對于定義域為的函數，若有常數M，使得對任意的，存在唯一的滿足等式，則稱M為函數f (x)的“均值”．

（1）判斷0是否為函數≤≤的“均值”，請說明理由；

（2）若函數為常數）存在“均值”，求實數a的取值范圍；

（3）已知函數是單調函數，且其值域為區間I．試探究函數的“均值”情況（是否存在、個數、大小等）與區間I之間的關系，寫出你的結論（不必證明）．

說明：對于（3），將根據結論的完整性與一般性程度給予不同的評分．

Answer 1

解：（1）對任意的，有，

當且僅當時，有，     

故存在唯一，滿足，             ……………………2分

所以0是函數的“均值”．              ……………………4分

(另法：對任意的，有，令，

則，且，     

若，且，則有，可得，

故存在唯一，滿足，             ……………………2分

所以0是函數的“均值”．              ……………………4分）

（2）當時，存在“均值”，且“均值”為；…………5分

當時，由存在均值，可知對任意的，

都有唯一的與之對應，從而有單調，

故有或，解得或或，         ……………………9分

綜上，a的取值范圍是或．　　　　　　　　　   ……………………10分

（另法：分四種情形進行討論）

（3）①當I 或時，函數存在唯一的“均值”．

這時函數的“均值”為； 　                      …………………12分

②當I為時，函數存在無數多個“均值”．

這時任意實數均為函數的“均值”；        　　　 　　……………………14分

③當I 或或或或或時，

函數不存在“均值”．     　　　　　　　　　　 　 　……………………16分

[評分說明：若三種情況討論完整且正確，但未用等價形式進行敘述，至多得6分；若三種情況討論不完整，且未用等價形式敘述，至多得5分]

①當且僅當I形如、其中之一時，函數存在唯一的“均值”．

這時函數的“均值”為； 　                    ……………………13分

②當且僅當I為時，函數存在無數多個“均值”．

這時任意實數均為函數的“均值”；        　　　 　　……………………16分

③當且僅當I形如、、、、、其中之一時，函數不存在“均值”．     　　　　　　　　 　　　 　　……………………18分

（另法：①當且僅當I為開區間或閉區間時，函數存在唯一的“均值”．這時函數的均值為區間I兩端點的算術平均數；                     ……………………13分

②當且僅當I為時，函數存在無數多個“均值”．這時任意實數均為函數的“均值”；                                       ……………………16分

③當且僅當I為除去開區間、閉區間與之外的其它區間時，函數不存在“均值”．                                              ……………………18分）

[評分說明：在情形①與②中，等價關系敘述正確但未正確求出函數“均值”，各扣1分]