Question

【題目】已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.

（1）求曲線G的方程;

（2）設直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.

【解析】

（1）根據三角形內切圓的性質證得，由此判斷出點的軌跡為橢圓，并由此求得曲線的方程.

（2）將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形的面積，兩種情況下四邊形的面積都為，由此證得四邊形的面積為定值.

（1）因為圓E為△ABC的內切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|

所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓（點不在軸上）,

所以c,a=2,b,

所以曲線G的方程為,

（2）因為，故四邊形為平行四邊形.

當直線l的斜率不存在時，則四邊形為為菱形，

故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,

此時可求得四邊形OMDN的面積為.

當直線l的斜率存在時,設直線l方程是y=kx+m,

代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,

∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|

點O到直線MN的距離d,

由,得xD,yD，

∵點D在曲線C上,所以將D點坐標代入橢圓方程得1+2k2=2m2,

由題意四邊形OMDN為平行四邊形,

∴OMDN的面積為S,

由1+2k2=2m2得S,

故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.