Question

已知函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（1）當a=-1時，求函數的單調區間；
（2）當0≤a＜

1

2

時，討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域，然后利用導數求函數的單調區間．
（2）求函數的導數，通過討論a的取值，確定函數f（x）的單調性．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞），當a=-1時，f(x)=lnx+x+

2

x

-1，f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

，
由f'（x）＞0，解得x＞1，此時函數f（x）單調遞增．
由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此時函數f（x）單調遞減．
所以函數f（x）的單調遞增區間是[1，+∞），單調遞減區間為（0，1]．
（2）因為f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，
令g（x）=ax²-x+1-a，（x＞0），
①若a=0，g（x）=-x+1，當x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f'（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
當x∈（1，+∞）時，g（x）＜0，此時f'（x）＞0，此時f（x）單調遞增．
②若0＜a＜

1

2

時，由f'（x）=0，解得x1=1，x2=

1

a

-1，
此時

1

a

-1＞1＞0，所以當x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f'（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
當x∈（1，

1

a

-1）時，g（x）＜0，此時f'（x）＞0，此時f（x）單調遞增．
當x∈（

1

a

-1，+∞）時，g（x）＞0，此時f'（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
綜上所述，當a=0時，函數f（x）單調遞減區間是（0，1），單調增區間是（1，+∞）．
當0＜a＜

1

2

時，函數f（x）單調遞減區間是（0，1）和[

1

a

-1，+∞），單調增區間是[1，

1

a

-1]．

點評：本題主要考查利用函數的單調性研究函數的單調性問題，運算量較大，綜合性較強．