Question

在數列{a_n}中，a₁=5，a_n=qa_n-1+d（n≥2）
（1）數列{a_n}有可能是等差數列或等比數列嗎？若可能給出一個成立的條件（不必證明）；若不可能，請說明理由；
（2）若q=2，d=3，是否存在常數x，使得數列{a_n+x}為等比數列；
（3）在（2）的條件下，設數列{a_n}的前n項和為S_n，求滿足S_n≥2009的最小自然數n的值．

Answer 1

分析：（1）因為只需要寫出一個成立的條件（不必證明），就可以答：當q=1時，數列為等差數列；當d=0且q≠0時數列為等比數列
（2）直接根據q=2，d=3得到a_n=2a_n-1+3整理得到a_n+3=2（a_n-1+3）即可說明結論；
（3）先根據二的結論求出數列{a_n}的前n項和為S_n，再解不等式即可．（是利用驗證法求解的）．

解答：解：（1）當q=1時，數列為等差數列；當d=0且q≠0時數列為等比數列
（2）由已知得a_n=2a_n-1+3，所以a_n+3=2（a_n-1+3）
∴存在x=3使得{a_n+x}為等比數列
（3）由（2）得a_n=2ⁿ⁺²-3，
∴S_n=2ⁿ⁺³-3n-8，
∵S_n≥2009
即2ⁿ⁺³-3n-8≥2009
∴n的最小值為8

點評：本題主要考查等差數列與等比數列的綜合．解決第二問的關鍵在于根據a_n=2a_n-1+3得到a_n+3=2（a_n-1+3），這也是數列遞推關系式的應用問題．