Question

給出下列四個命題：
①如果橢圓

x2

36

+

y2

9

=1的一條弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線的斜率為-

1

2

；
②過點P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個交點的直線共有3條．
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離為b．
④已知拋物線y²=2px上兩點A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O為原點），則y₁y₂=-p²．
其中正確的命題有

①②③

（請寫出你認為正確的命題的序號）

Answer 1

分析：①利用直線和橢圓的位置關系判斷．②利用直線和拋物線的位置關系判斷．
③利用雙曲線的定義和方程判斷．④利用直線和拋物線的位置關系判斷．

解答：解：①設弦的端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
將A、B坐標代入橢圓方程

x 2 1 36 + y 2 1 9 =1 x 2 2 36 + y 2 2 9 =1

，兩式相減得

x 2 1 - x 2 2

36

+

y 2 1 - y 2 2

9

=1，
即

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

1

2

，所以這條弦所在的直線的斜率為-

1

2

，所以①正確．
②當過點P（0，1）的直線存在斜率時，設其方程為：y=kx+1，
由

y=kx+1 y2=x

，消y得k²x²+（2k-1）x+1=0，
若k=0，方程為-x+1=0，解得x=1，此時直線與拋物線只有一個交點（1，1）；
若k≠0，令△=（2k-1）²-4k²=0，解得k=

1

4

，此時直線與拋物線相切，只有一個交點；
當過點P（0，1）的直線不存在斜率時，該直線方程為x=0，與拋物線相切只有一個交點；
綜上，過點P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個交點的直線有3條．所以②正確．
③雙曲線的一個焦點為F（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=±

b

a

x，即bx-ay=0，所以焦點到漸近線的距離
d=

|bc|

a2+b2

=

bc

c

=b，所以③正確．
④A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點，并且滿足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，則

(y1y2)2

4p2

+y1y2=0，解得y₁y₂=-4p²，所以④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系的判斷，綜合性較強．