Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（，t為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直角坐標系下直線與曲線的普通方程；

（2）設直線與曲線交于點、（二者可重合），交軸于，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直線的參數方程中消去參數可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，結合可將曲線的極坐標方程化為普通方程；

（2）將直線的參數方程代入到曲線的直角坐標方程，由結合韋達定理求得實數的值，可判斷出直線與曲線相切，由此可得出的大小.

（1）由消去參數得直線的普通方程為.

由得，因為，

曲線的直角坐標方程為，即；

（2）設點、的對應的參數分別為、，

將直線的參數方程代入到曲線的直角坐標方程得①，

，解得或.

當時，方程①為，，此時直線與曲線相切；

當時，方程①為，，此時直線與曲線相切.

因此，.