Question

設(shè)集合A={1，2}，B={1，2，3}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個數(shù)a和b．
（Ⅰ）若向量

m

=(a，b)，

n

=(1，-1)，求向量

m

與

n

的夾角為銳角的概率；
（Ⅱ） 記點(diǎn)P（a，b），則點(diǎn)P（a，b）落在直線x+y=n上為事件C_n（2≤n≤5，n∈N），求使事件C_n的概率最大的n．

Answer 1

分析：（I）本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)需要解出，設(shè)出兩個向量的夾角，根據(jù)夾角是一個銳角得到關(guān)系，列舉出所有的事件數(shù)，得到概率．
（II）根據(jù)條件分別做出n在等于2，3，4，5時，對應(yīng)的滿足條件的概率，把幾個概率值進(jìn)行比較，得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)向量

m

與

n

的夾角為θ
因?yàn)棣葹殇J角
∴cosθ=

m • n

| m || n |

＞0，且向量

m

與

n

不共線，
∵a＞0，b＞0，

n

=(1，-1)，
顯然

m

與

n

不共線，
∴

m

•

n

=a-b＞0，a＞b
隨機(jī)取一個數(shù)a和b的基本事件有
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）
∴向量

m

與

n

的夾角為銳角的概率P=

1

6

（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)n=2時，滿足條件的概率P2=

1

6

當(dāng)n=3時，滿足條件的概率P3=

1

3

當(dāng)n=4時，滿足條件的概率P4=

1

3

當(dāng)n=5時，滿足條件的概率P5=

1

6

∴使事件C_n的概率最大的n值為3或4

點(diǎn)評：本題是一個典型的古典概型問題，本題可以列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，應(yīng)用列舉法來解題是這一部分的精髓．