Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2

3

．

（Ⅰ）求證SA⊥SC；
（Ⅱ）在平面幾何中，推導三角形內切圓的半徑公式r=

2S

l

（其中l是三角形的周長，S是三角形的面積），常用如下方法（如右圖）：
①以內切圓的圓心O為頂點，將三角形ABC分割成三個小三角形：△OAB，△OAC，△OBC．
②設△ABC三邊長分別為a，b，c．由S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB，
得S=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=

1

2

lr，則r=

2S

l

．
類比上述方法，請給出四面體內切球半徑的計算公式（不要求說明類比過程），并利用該公式求出三棱錐S-ABC內切球的半徑．

Answer 1

分析：（I）過S作SO⊥AB，垂足為O，由已知中側面SAB⊥底面ABC，結合面面垂直的性質可得OS⊥底面ABC．以O為坐標原點，OA為x軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出直線SA與SC的方向向量，代入向量的數量積公式，即可得到SA⊥SC；
（Ⅱ）根據平面內與面積相關的性質可類比為空間內與體積有關的性質，我們可以類比平面中r=

2S

l

，得到r=

3V

S

，連接球心與四個頂點，將大三棱錐分解為四個小三棱錐，然后根據四個小棱錐的體積和等于大棱錐的體積，即可證明結論．

解答：解：（Ⅰ）過S作SO⊥AB，垂足為O，
∵側面SAB⊥底面ABC，∴OS⊥底面ABC．
∵SA=SB，∴O為AB中點．
以O為坐標原點，OA為x軸，OS為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示．
∵∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2

3

，
∴AB=2

2

，BC=2，OS=

2

，
∴A(

2

，0，0)，C(-

2

，2，0)，S(0，0，

2

)．
∴

SA

=(

2

，0，-

2

)，

SC

=(-

2

，2，-

2

)．
則

SA

•

SC

=-2+0+2=0．
∴SA⊥SC．
（Ⅱ）三棱錐內切球的半徑公式為r=

3V

S

（其中V為三棱錐的體積，S為三棱錐的表面積）．
在Rt△SAB中，SA=SB=2，∴S_△SAB=2．
在Rt△ABC中，AB=2

2

，AC=2

3

，∴BC=2．∴S△ABC=2

2

．
在Rt△SAC中，SA=2，AC=2

3

，∴SC=2

2

．∴S△SAC=2

2

．B(-

2

，0，0)，

BC

=(0，2，0)，

SB

=(-

2

，0，-

2

)，
∴

BC

•

SB

=0，則BC⊥SB．
在Rt△SBC中，SB=2，BC=2．∴S_△SBC=2．
又VS-ABC=

1

3

S△ABC•SO=

4

3

．
∴r=

3V

S

=

2

-1．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的性質，線線垂直的判定，類比推理，（1）的關鍵是建立空間坐標系，將線線垂直問題轉化為向量垂直問題，（2）的關鍵是將大三棱錐分解為四個小三棱錐，根據四個小棱錐的體積和等于大棱錐的體積，得到結論．