Question

20．（本小題滿分14分）
已知拋物線：的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點；橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是它的一個頂點，且其離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）經過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點．證明：；
（3）橢圓上是否存在一點，經過點作拋物線的兩條切線、（、為切點），使得直線過點？若存在，求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．
 

Answer 1

,

20．（本小題滿分14分）
(考查橢圓、拋物線、直線、定積分等知識，考查數形結合、化歸轉化等數學思想、以及推理論證能力和運算求解能力)
解：（1）設橢圓的方程為，半焦距為.
由已知條件，得，
∴
解得 .
所以橢圓的方程為：.                  …………分
（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個交點，不合題意，
故可設直線的方程為 ，，
由   
消去并整理得，
∴  .                                  …………分
∵拋物線的方程為，求導得，
∴過拋物線上、兩點的切線方程分別是
， ，
即 ，  ，
解得兩條切線、的交點的坐標為，即，……分
∴
∴.                                                      …………分
（3）假設存在點滿足題意，由（2）知點必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點，故的坐標為，
設過點且與拋物線相切的切線方程為：，其中點為切點.
令得，，
解得或 ，                                    …………分
故不妨取，即直線過點.
綜上所述，橢圓上存在一點，經過點作拋物線的兩條切線、（、為切點），能使直線過點.
此時，兩切線的方程分別為和.             …………分
拋物線與切線、所圍成圖形的面積為
 .