Question

已知向量，，O是坐標原點，若||=k||，且方向是沿的方向繞著A點按逆時針方向旋轉θ角得到的，則稱經過一次（θ，k）變換得到．現有向量=（1，1）經過一次（θ₁，k₁）變換后得到，經過一次（θ₂，k₂）變換后得到，…，如此下去，經過一次（θ_n，k_n）變換后得到．設=（x，y），，，則y-x等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，可得（θ₁，k₁）=（1，），即當n=1時，一次（θ₁，k₁）變換將逆時針旋轉1弧度，再將所得向量的長度再伸長為原來的倍得到向量．因此當=（1，1）時，運用矩陣變換公式，算出逆時針旋轉1弧度所得向量=（cos1-sin1，sin1+cos1），從而得到=（x，y）=（1-，+1），所以y-x=．接下來再對A、B、C、D各項在n=1時的情況進行計算，對照所得結果可得只有B項是正確的選項．
解答：解：根據題意，，
∴一次（θ₁，k₁）變換就是將向量逆時針旋轉1弧度，
再將長度伸長為原來的倍，
即由逆時針旋轉1弧度而得，且=
設向量逆時針旋轉1弧度，所得的向量為=（x'，y'）
則有•=，
∴，即向量逆時針旋轉1弧度，
得到向量=（cos1-sin1，sin1+cos1），再將的模長度伸長為原來的倍，
得到=（cos1-sin1，sin1+cos1）=（1-，+1）
因此當n=1時，=（x，y）=（1-，+1）
即，由此可得y-x=+1-（1-）=
對于A，當n=1時===2，與計算結果不相等，故A不正確；
對于B，當n=1時==，與計算結果相等，故B正確；
對于C，當n=1時==，與計算結果不相等，故C不正確；
對于D，當n=1時===2，與計算結果不相等，故D不正確
綜上所述，可得只有B項符合題意
故選：B
點評：本題給出向量的旋轉和伸縮，求向量=（1，1）經過n變換（θ_n，k_n）后得到的向量坐標，著重考查了向量的線性運算、用矩陣解決向量旋轉問題和數列的通項公式等知識，屬于中檔題．