Question

對于函數，若存在 ，使成立，則稱點為函數的不動點。
（1）已知函數有不動點（1，1）和（-3，-3）求與的值；
（2）若對于任意實數，函數總有兩個相異的不動點，求 的取值范圍；
（3）若定義在實數集R上的奇函數存在（有限的） 個不動點，求證：必為奇數。

Answer 1

（1），（2）（3）見解析

（1）由不動點的定義：，∴…….1’
代入知，又由及知。……………………...2’
∴，。          …………………………....................1’
（2）對任意實數，總有兩個相異的不動點，即是對任意的實數，方程總有兩個相異的實數根。...........1’
∴中，
即恒成立。………………………....................2’
故，∴。………….........................2’
故當時，對任意的實數，方程總有兩個相異的不動點。 ………...................1’
（3）是R上的奇函數，則，∴（0，0）是函數的不動點。 ……..................1’
若有異于（0，0）的不動點，則。
又，∴是函數的不動點。
∴的有限個不動點除原點外，都是成對出現的，        ..........................4’
所以有個（），加上原點，共有個。即必為奇數