Question

【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，梯形ABCD內接于圓O，AD∥BC，且AB=CD，過點B引圓O的切線分別交DA、CA的延長線于點E、F．
（1）求證：CD²=AE•BC；
（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，利用直線平行的性質和弦切角定理推導出△EAB∽△ABC，由此能證明CD²=AE•BC．
（2）由已知條件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出結果．

解答：解：（1）因為AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC．
又因為FB與圓O相切于點B，
所以∠EBA=∠ACB，
所以△EAB∽△ABC，
所以

AE

BA

=

AB

BC

，即AB²=AE•BC，
因為AB=CD，所以CD²=AE•BC．
（2）因為AB²=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，
所以AE=

AB2

BC

=

25

8

，
因為AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB，
又因為∠EBA=∠ACB，
所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，
所以△FEA∽△FAB，
所以

AE

AB

=

EF

AF

，
所以EF=

AE

AB

•AF=

15

4

．

點評：本題考查三角形相似的應用，考查與圓有關的線段長的求法，解題時要注意弦切角定理和三角形相似的性質的靈活運用．