Question

【選修4—1：幾何證明選講】

 如圖，在正△ABC中，點D,E分別在邊AC, AB上，且AD=AC

AE=AB，BD，CE相交于點F.

 （1）求證：A，E，F(xiàn)，D四點共圓；

 （2）若正△ABC的邊長為2，求A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑．

Answer 1

　

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（Ⅰ）證明：∵AE=AB， ∴BE=AB， ∵在正△ABC中，AD=AC， ∴AD=BE， 又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE， ∴△BAD≌△CBE， ∴∠ADB=∠BEC， 即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F(xiàn)，D四點共圓．…（5分） （Ⅱ）解：如圖， 取AE的中點G，連接GD，則AG=GE=AE， ∵AE=AB， ∴AG=GE=AB=， ∵AD=AC=，∠DAE=60°， ∴△AGD為正三角形， ∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=， 所以點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為． 由于A，E，F(xiàn)，D四點共圓，即A，E，F(xiàn)，D四點共圓G，其半徑為．…（10分）