Question

已知圓C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經過原點？若存在，寫出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：假設直線存在，設l的方程為y＝x＋m， 　　由 　　得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0．(*) 　　設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝． 　　∵以AB為直徑的圓為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，若它經過原點，則x1x2＋y1y2＝0． 　　又y1·y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2． 　　∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0． 　　∴m2＋3m－4＝0，m＝－4或m＝1．∵當m＝－4或m＝1時，可驗證(*)式的Δ＞0， 　　∴所求直線l的方程是x－y－4＝0或x－y＋1＝0．

提示：

設A(x1，y1)、B(x2，y2)，再設出直線的方程后將其與圓的方程聯立，則所得方程組的解就是A和B的坐標值．但不必解出A和B坐標的具體的表達式，而要將目標放在利用根與系數關系來表示題目所給條件上．其中以AB為直徑的圓可表示為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．