Question

已知圓C：x²-2x+y²=0，直線l：x+y-4=0．
（1）若直線l′⊥l且被圓C截得的弦長為

3

，求直線l′的方程；
（2）若點P是直線l上的動點，PA、PB與圓C相切于點A、B，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設出直線l′方程，利用弦長為

3

，結合勾股定理，即可求直線l′的方程；
（2）表示出S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=|PA||AC|，S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=|PA||AC|，而PA²=PC²-r²=PC²-1，所以當PC取最小值時，PA取得最小值，從而可得結論．

解答：解：（1）因為直線l′⊥l，所以直線l′的斜率為1，設直線l′方程為y=x+b，
因為截得弦長為

3

，所以圓心C到直線l′的距離為

1

2

，即

|1+b|

2

=

1

2

，解得b=-1-

2

2

或b=-1+

2

2

，
所以直線l′方程為：y=x-1-

2

2

或y=x-1+

2

2

．--------（5分）
（2）S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=|PA||AC|，
因為|AC|=r=1，所以當|PA|取得最小值時四邊形PACB的面積最小．
因為PA²=PC²-r²=PC²-1，所以當PC取最小值時，PA取得最小值，
由點到直線的距離公式可得|PC|min=

|1+0-4|

2

=

3 2

2

，
所以(S四邊形PACB)min=

14

2

．---------------------（10分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查四邊形面積的計算，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．