Question

設函數與數列滿足關系：(1)  a_1.>a, 其中a是方程的實根，(2) a_n+1=  ( nN⁺ )  ,如果的導數滿足0<<1

（1）證明： a_n>a  （2）試判斷a_n與a_n+1的大小，并證明結論。 

 

Answer 1

【答案】

對任意正整數n都有a _n> a _n+1 .

【解析】

證明：(1)當n=1時，由題設知a ₁> a成立。

假設n=k時,   a _k> a成立   (k)，

由>0知增函數，則，

又由已知:  =a，

于是a _k+1> a ，即對n=k+1時也成立，

故 對任意正整數n,  a _n> a都成立。

解：(2)令則

      故為增函數

則 當x> a時,有

而

  即

由(1)知a _n> a          ()

故 對任意正整數n都有a _n> a _n+1 .