Question

設f（x）=

ax2+bx+1

x+c

（a＞0）為奇函數，且|f（x）|_min=2

2

，數列{a_n}與{b_n}滿足如下關系：a₁=2，an+1=

f(an)-an

2

，bn=

an-1

an+1

．
（1）求f（x）的解析表達式；
（2）證明：當n∈N₊時，有b_n≤(

1

3

)n．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）為奇函數，且|f（x）|_min=2

2

，求出a，b，c即可的f（x）的解析表達式
（2）先有f（x）的解析表達式，求得a_n與a_n+1的關系，在求出b_n的通項公式，來證明

解答：解：由f（x）是奇函數，得b=c=0，
由|f（x）_min|=2

2

，得a=2，故f（x）=

2x2+1

x

（2）an+1=

f(an)-an

2

=

2 a 2 n +1 a   n -an

2

=

a 2 n +1

2an

，
bn+1=

an+1-1

an+1+1

=

a 2 n +1 2an -1

a 2 n +1 2an +1

=

a 2 n -2an+1

a 2 n +2an+1

=(

an-1

an+1

)2=b_n²
∴b_n=b_n-1²=b_n-2⁴═

b

2n-1 1

，而b₁=

1

3

∴b_n=(

1

3

)2n-1
當n=1時，b₁=

1

3

，命題成立，
當n≥2時∵2^n-1=（1+1）^n-1=1+C_n-1¹+C_n-1²++C_n-1^n-1≥1+C_n-1¹=n
∴(

1

3

)2n-1＜(

1

3

)n，即b_n≤(

1

3

)n．

點評：研究函數的奇偶性必須先明確函數的定義域是否關于原點對稱，在關于原點對稱的基礎上，再看f（x）與f（-x）的關系，相等為偶函數，相反為奇函數