Question

若曲線y=x⁴的一條切線l與直線x+4y-2011=0垂直，則直線l的方程為（　　）

A．4x-y-3=0

B．x-4y+3=0

C．x-4y-2011=0

D．x-4y+2011=0

Answer 1

分析：直線x+4y-2011=0的斜率是k=-

1

4

，由曲線y=x⁴的一條切線l與直線x+4y-2011=0垂直，知切線l的斜率k_l=4，由y=x⁴，知y′=4x³，設切線l的切點坐標為（x₀，x04），則4x03=4，解得切點坐標為（1，1），由此能求出直線l的方程．

解答：解：直線x+4y-2011=0的斜率是k=-

1

4

，
∵曲線y=x⁴的一條切線l與直線x+4y-2011=0垂直，
∴切線l的斜率k_l=4，
∵y=x⁴，∴y′=4x³，
設切線l的切點坐標為（x₀，x04），則4x03=4，
解得切點坐標為（1，1），
∴直線l的方程為y-1=4（x-1），即4x-y-3=0．
故選A．

點評：本題考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意導數、直線垂直的關系、點斜式方程等知識點的靈活運用．